Use a definição de limite para provar que: lim x 1 f(x)=2, onde f(x)=3 x-1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar, usando a definição de limite, que lim x 1 f(x)=2, onde f(x)=3x-1. Para isso, vamos utilizar o conceito de limite de uma função em um ponto, que envolve os critérios de aproximação por epsilon e de.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa lim x a f(x) = L. Isso quer dizer que, para todo número pequeno epsilon > 0, existe um número de 0 tal que, sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < epsilon. No nosso caso, a = 1 e L = 2.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para a função f(x) = 3x - 1. Queremos que |f(x) - 2| < epsilon. Vamos calcular:
|f(x) - 2| = |3x - 1 - 2| = |3x - 3| = 3|x - 1|

Passo 4

Nossa meta é garantir que 3|x - 1| < epsilon. Para isso, podemos resolver para |x - 1|:
3|x - 1| < epsilon Rightarrow |x - 1| < epsilon3

Passo 5

Portanto, se escolhermos de, sempre que 0 < |x - 1| < de, teremos:
|f(x) - 2| = 3|x - 1| < 3 cdot epsilon3 = epsilon

Resposta

Assim, provamos pela definição de limite que lim x 1 f(x)=2.

Exercícios relacionados