Calcule o limite lim x -1 x^3+x^2+x+1x+1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função x^3+x^2+x+1x+1 quando x se aproxima de -1. Isso envolve o estudo de limites em funções racionais, onde precisamos manipular a expressão para encontrar o valor desejado.

Passo 2

Vamos tentar substituir x = -1 diretamente na função para ver o que acontece:
(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1-1 + 1 = -1 + 1 -1 + 10 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a função para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador da fração. Observamos que x + 1 pode ser um fator de x^3 + x^2 + x + 1. Vamos tentar fatorar:
x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1)
Portanto, a função fica:
(x + 1)(x^2 + 1)x + 1

Passo 4

Agora que fatoramos, podemos cancelar o termo x + 1 que está no numerador e no denominador, desde que x neq -1:
(x + 1)(x^2 + 1)x + 1 = x^2 + 1
Agora, podemos calcular o limite substituindo x = -1 na expressão simplificada:
(-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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