Seja f uma função de R em R, tal que f(x)=x^3. Calcule o limite em cada caso: lim x 3 f(x)-f(3)x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos o limite de quando se aproxima de 3, onde a função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo de limites, mais especificamente relacionado ao conceito de derivada. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar as regras de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x) - f(3)x - 3 = x^3 - 3^3x - 3 e na expressão. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Calculando 3^3 = 27 :
x^3 - 27x - 3
Então, a expressão fica:

Passo 4

Para simplificar a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) , reconhecemos que x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) é uma diferença de cubos. A fórmula para a diferença de cubos é:
Aqui, e . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
(x - 3)(x^2 + 3x + 9)x - 3
Podemos cancelar o x^2 + 3x + 9 do numerador e do denominador:

Passo 6

Agora, para encontrar o limite quando 3^2 + 3 cdot 3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 se aproxima de 3, basta substituir por 3 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 27.

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