Calcule o limite
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Isso faz parte do conteúdo de limites em cálculo, e para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Quando temos uma divisão de polinômios e obtemos uma forma indeterminada, uma técnica útil é fatorar o numerador para ver se conseguimos cancelar o denominador. Vamos fatorar o polinômio
.
Passo 4
Observando o numerador
, percebemos que podemos agrupar os termos:
Ainda assim, não fica claro como fatorar diretamente. Outra abordagem é usar a divisão polinomial ou identificar raízes.
Passo 5
Sabemos que
é uma raiz do numerador, já que substituindo
o numerador resulta em zero. Isso significa que
é um fator do numerador. Vamos dividir o numerador por
para encontrar o outro fator.
Passo 6
Realizando a divisão do polinômio
por
, obtemos:
Portanto, a expressão original pode ser simplificada para:
Passo 7
Agora, podemos cancelar o
que está tanto no numerador quanto no denominador:
Isso simplifica bastante a expressão para calcular o limite.
Passo 8
Com a expressão simplificada, agora podemos substituir
diretamente:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
(Desafio) Seja
uma função de
em
, tal que
. Calcule o limite:
Seja
uma função de
em
, tal que
. Calcule o limite em cada caso:
Calcule os seguintes limites no infinito:
Calcule os seguintes limites laterais e no infinito: