Calcule o limite lim x -1 x^5+x^4+x^3+x^2+x+1x+1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de da função . Isso faz parte do conteúdo de limites em cálculo, e para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Vamos tentar substituir (-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2+(-1)+1-1+1 = -1 + 1 -1 + 1 -1 +10 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando temos uma divisão de polinômios e obtemos uma forma indeterminada, uma técnica útil é fatorar o numerador para ver se conseguimos cancelar o denominador. Vamos fatorar o polinômio .

Passo 4

Observando o numerador x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^5 + x) + (x^4 + x^2) + (x^3 + 1) , percebemos que podemos agrupar os termos:
Ainda assim, não fica claro como fatorar diretamente. Outra abordagem é usar a divisão polinomial ou identificar raízes.

Passo 5

Sabemos que é uma raiz do numerador, já que substituindo o numerador resulta em zero. Isso significa que é um fator do numerador. Vamos dividir o numerador por para encontrar o outro fator.

Passo 6

Realizando a divisão do polinômio x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = (x + 1)(x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1) por (x + 1)(x^4 + x^2 + 1)x + 1 , obtemos:
Portanto, a expressão original pode ser simplificada para:

Passo 7

Agora, podemos cancelar o (x + 1)(x^4 + x^2 + 1)x + 1 = x^4 + x^2 + 1 que está tanto no numerador quanto no denominador:
Isso simplifica bastante a expressão para calcular o limite.

Passo 8

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir (-1)^4 + (-1)^2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 diretamente:

Resposta

O limite é igual a .

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lim De
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