Seja f uma função de R em R, tal que f(x)=x^3. Calcule o limite em cada caso: lim x 1 f(x)-f(1)x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Isso envolve o conceito de limites, que é uma parte fundamental do cálculo, especialmente quando estamos lidando com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que f(x) - f(1)x - 1 = x^3 - 1x - 1 , então . Substituindo isso na expressão, temos:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Observa que o numerador é uma diferença de cubos, e existe uma fórmula para fatorar isso:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Aplicando isso com e :

Passo 4

Substituindo de volta na nossa fração:
x^3 - 1x - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)x - 1
Aqui, podemos cancelar x^2 + x + 1 do numerador e do denominador (desde que , mas como estamos olhando para o limite, isso tá de boa):

Passo 5

Agora, o limite fica bem mais simples:
limx to 1 (x^2 + x + 1)
Basta substituir 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 por 1 na expressão:

Resposta

O limite é 3.

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(Desafio) Seja f uma função de R em R, tal que f(x)=x^n. Calcule o limite:
lim De
Calcule o limite lim x -1 x^5+x^4+x^3+x^2+x+1x+1.