Calcule os seguintes limites laterais e no infinito: lim x 2^- x^2+3 xx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Aqui, estamos lidando com um limite lateral, ou seja, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2). O conteúdo aqui envolve funções racionais e limites. Para resolver, a gente precisa entender o que acontece com o numerador e o denominador à medida que se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o comportamento do denominador x^2 - 4 = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 quando se aproxima de 2 pela esquerda. Calculando:
Então, o denominador está se aproximando de 0. Precisamos analisar se ele está se aproximando de 0 de forma positiva ou negativa.

Passo 3

Para entender o sinal do denominador, vamos pegar um valor de x^2 - 4 = (1.9)^2 - 4 = 3.61 - 4 = -0.39 bem próximo de 2 pela esquerda, por exemplo, :
Vemos que o denominador está negativo quando se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 4

Agora, vamos analisar o numerador x^2 + 3x = (2)^2 + 3 times 2 = 4 + 6 = 10 quando se aproxima de 2:
Assim, o numerador está se aproximando de 10, que é um valor positivo.

Passo 5

Com o numerador se aproximando de 10 (positivo) e o denominador se aproximando de 0 pelo lado negativo, a fração completa:
x^2+3 xx^2-4
está se aproximando de ú, o que tende a .

Resposta

lim x 2^- x^2+3 xx^2-4 = -infty

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