(Desafio) Seja
uma função de
em
, tal que
. Calcule o limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa calcular o limite:
Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a definição de derivada. A gente vai precisar entender como aplicar a regra do limite para encontrar a taxa de variação da função quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a função
na expressão do limite:
Agora, queremos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite quando
tende a zero.
Passo 3
Para expandir
, podemos usar o binômio de Newton. A expansão fica:
Como vamos dividir por
, podemos simplificar a expressão ignorando os termos com
ou superiores, já que vão se tornar insignificantes quando
for muito pequeno.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Como
tende a zero, os termos que contêm
desaparecem, então ficamos apenas com:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função de
em
, tal que
. Calcule o limite em cada caso:
Seja
uma função de
em
, tal que
. Calcule o limite em cada caso:
Calcule o limite
.
Calcule os seguintes limites no infinito: