(Desafio) Seja f uma função de R em R, tal que f(x)=x^n. Calcule o limite:
lim De

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função lim De e precisa calcular o limite:
Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a definição de derivada. A gente vai precisar entender como aplicar a regra do limite para encontrar a taxa de variação da função quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função f(x+De na expressão do limite:
Agora, queremos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite quando tende a zero.

Passo 3

Para expandir (x + De, podemos usar o binômio de Newton. A expansão fica:
Como vamos dividir por , podemos simplificar a expressão ignorando os termos com ou superiores, já que vão se tornar insignificantes quando for muito pequeno.

Passo 4

Simplificando a expressão:
(x + De
Como n x^n-1 tende a zero, os termos que contêm desaparecem, então ficamos apenas com:

Resposta

lim De

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Calcule os seguintes limites no infinito: lim x +infty 3 x^3+x+1x^2-2 x+3