Calcule o limite. lim x 3 x^2-9x^2-4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício é de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar saber como fatorar expressões polinomiais e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração. Às vezes, ao fatorar as expressões, a gente encontra termos que cancelam, facilitando a avaliação do limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
Agora, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na fração original:
x^2-9x^2-4 x+3 = (x - 3)(x + 3)(x - 1)(x - 3)
Perceba que temos o termo (x - 3)(x + 3)(x - 1)(x - 3) = x + 3x - 1 tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo, pois (já que estamos considerando o limite quando se aproxima de 3, mas não exatamente 3):

Passo 5

Agora que simplificamos a fração, podemos calcular o limite substituindo lim x 3 x + 3x - 1 = 3 + 33 - 1 = 62 = 3 por 3 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 3.

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