(a) Verifique que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida de duas maneiras: uma fórmula complexa quando e simplesmente 0 quando . A matéria que vamos usar aqui é de derivadas parciais mistas, ou seja, calcular as derivadas primeiro em relação a uma variável e depois à outra. Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial no ponto é diferente de nesse mesmo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as derivadas parciais mistas. A derivada significa que primeiro derivamos em relação a e depois derivamos o resultado em relação a . Já é o contrário: primeiro em relação a e depois em relação a . Em geral, para funções “bem comportadas”, essas derivadas deveriam ser iguais, mas às vezes não são, como neste exercício.

Passo 3

Vamos começar calculando , a derivada parcial de em relação a no ponto . Para isso, usamos a definição da derivada:
Sabemos que . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Como , a função fica:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular , ou seja, a derivada de em relação a no ponto . Usamos novamente a definição de derivada:
Já sabemos que , então:

Passo 6

Para encontrar , fixamos e calculamos a derivada de em relação a :
Sabemos que , então:

Passo 7

Vamos calcular para :
Então:
Quando , isso se aproxima de:
Então:

Passo 8

Agora, voltando à derivada :

Passo 9

Vamos repetir o processo para calcular . Primeiro, calculamos :

Passo 10

Agora, calculamos , que é a derivada de em relação a no ponto :
Sabemos que , então:

Passo 11

Vamos encontrar . Fixamos e calculamos a derivada de em relação a :
Como , então:

Passo 12

Lembrando que:
Então:
Quando , isso se aproxima de:
Então:

Passo 13

Voltando à derivada :

Resposta

Conseguimos ver que e . Portanto,

Exercícios relacionados

Calcule, caso existam, as derivadas parciais e .
, onde é a intersecção das superfícies e .
Calcule o limite.
Calcule o limite.