f(x, y)=l x y(x^2-y^2)x^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
(a) Verifique que fx y(0,0) neq fy x(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função f(x, y) definida de duas maneiras: uma fórmula complexa quando (x, y) neq (0,0) e simplesmente 0 quando (x, y) = (0,0). A matéria que vamos usar aqui é de derivadas parciais mistas, ou seja, calcular as derivadas primeiro em relação a uma variável e depois à outra. Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial fxy no ponto (0,0) é diferente de fyx nesse mesmo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as derivadas parciais mistas. A derivada fxy significa que primeiro derivamos f em relação a x e depois derivamos o resultado em relação a y. Já fyx é o contrário: primeiro em relação a y e depois em relação a x. Em geral, para funções “bem comportadas”, essas derivadas deveriam ser iguais, mas às vezes não são, como neste exercício.

Passo 3

Vamos começar calculando fx(0,0), a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0). Para isso, usamos a definição da derivada:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Sabemos que f(0,0) = 0. Então:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0)h

Passo 4

Agora, vamos calcular f(h, 0). Como y=0, a função fica:
f(h, 0) = h cdot 0 cdot (h^2 - 0^2)h^2 + 0^2 = 0
Então:
fx(0,0) = limh to 0 0h = 0

Passo 5

Agora, precisamos calcular fxy(0,0), ou seja, a derivada de fx em relação a y no ponto (0,0). Usamos novamente a definição de derivada:
fxy(0,0) = limk to 0 fx(0,k) - fx(0,0)k
Já sabemos que fx(0,0) = 0, então:
fxy(0,0) = limk to 0 fx(0,k)k

Passo 6

Para encontrar fx(0,k), fixamos y=k e calculamos a derivada de f em relação a x:
fx(0,k) = limh to 0 f(h,k) - f(0,k)h
Sabemos que f(0,k) = 0, então:
fx(0,k) = limh to 0 f(h,k)h

Passo 7

Vamos calcular f(h,k) para (h,k) neq (0,0):
f(h,k) = h cdot k cdot (h^2 - k^2)h^2 + k^2
Então:
Quando fx(0,k) = limh to 0 h cdot k cdot (h^2 - k^2)h cd2 + k^2 cdot 1h = limh to 0 k(h^2 - k^2)h^2 + k^2 , isso se aproxima de:
h to 0
Então:
k(-k^2)k^2 = -k

Passo 8

Agora, voltando à derivada fxy(0,0):
fxy(0,0) = limk to 0 -kk = -1

Passo 9

Vamos repetir o processo para calcular fyx(0,0). Primeiro, calculamos fy(0,0):
fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0

Passo 10

Agora, calculamos fyx(0,0), que é a derivada de fy em relação a x no ponto (0,0):
fyx(0,0) = limh to 0 fy(h,0) - fy(0,0)h
Sabemos que fy(0,0) = 0, então:
fyx(0,0) = limh to 0 fy(h,0)h

Passo 11

Vamos encontrar fy(h,0). Fixamos x=h e calculamos a derivada de f em relação a y:
fy(h,0) = limk to 0 f(h,k) - f(h,0)k
Como f(h,0) = 0, então:
fy(h,0) = limk to 0 f(h,k)k

Passo 12

Lembrando que:
f(h,k) = h cdot k cdot (h^2 - k^2)h^2 + k^2
Então:
fy(h,0) = limk to 0 h cdot k cdot (h^2 - k^2)k(h^2 + k^2) = limk to 0 h(h^2 - k^2)h^2 + k^2
Quando k to 0, isso se aproxima de:
h cdot h^2h^2 = h
Então:
fy(h,0) = h

Passo 13

Voltando à derivada fyx(0,0):
fyx(0,0) = limh to 0 hh = 1

Resposta

Conseguimos ver que fxy(0,0) = -1 e fyx(0,0) = 1. Portanto,
fxy(0,0) neq fyx(0,0)

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