(a) Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função
definida de duas maneiras: uma fórmula complexa quando
e simplesmente 0 quando
. A matéria que vamos usar aqui é de derivadas parciais mistas, ou seja, calcular as derivadas primeiro em relação a uma variável e depois à outra. Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial
no ponto
é diferente de
nesse mesmo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as derivadas parciais mistas. A derivada
significa que primeiro derivamos
em relação a
e depois derivamos o resultado em relação a
. Já
é o contrário: primeiro em relação a
e depois em relação a
. Em geral, para funções “bem comportadas”, essas derivadas deveriam ser iguais, mas às vezes não são, como neste exercício.
Passo 3
Vamos começar calculando
, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Para isso, usamos a definição da derivada:
Sabemos que
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Como
, a função fica:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
, ou seja, a derivada de
em relação a
no ponto
. Usamos novamente a definição de derivada:
Já sabemos que
, então:
Passo 6
Para encontrar
, fixamos
e calculamos a derivada de
em relação a
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Vamos calcular
para
:
Então:
Quando
, isso se aproxima de:
Então:
Passo 8
Agora, voltando à derivada
:
Passo 9
Vamos repetir o processo para calcular
. Primeiro, calculamos
:
Passo 10
Agora, calculamos
, que é a derivada de
em relação a
no ponto
:
Sabemos que
, então:
Passo 11
Vamos encontrar
. Fixamos
e calculamos a derivada de
em relação a
:
Como
, então:
Passo 12
Lembrando que:
Então:
Quando
, isso se aproxima de:
Então:
Passo 13
Voltando à derivada
:
Resposta
Conseguimos ver que
e
. Portanto,
Exercícios relacionados
Calcule, caso existam, as derivadas parciais
e
.
Calcule o limite.
Calcule o limite.