Calcule o limite.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando tende a menos infinito da função . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especialmente quando vai para o infinito ou menos infinito. Para resolver isso, vamos olhar para os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, identifique o grau dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, temos , que é um polinômio de grau 3. No denominador, é de grau 2.

Passo 3

Quando calculamos limites de funções racionais onde o grau do numerador é maior que o do denominador, o comportamento da função será dominado pelo termo de maior grau no numerador. Isso significa que, conforme vai para menos infinito, o termo cresce muito mais rápido (em magnitude) que .

Passo 4

Para facilitar, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por , que é o maior grau presente:

Passo 5

Agora, analisamos o que acontece quando tende a menos infinito. Todos os termos no denominador que têm no denominador vão se aproximar de zero:

Passo 6

Assim, a expressão simplifica para:
Mas como estamos dividindo um número negativo por um número que está se aproximando de zero negativo (já que vai para menos infinito), o resultado será positivo infinito. Porém, como o numerador é negativo e o denominador está se aproximando de zero negativo, o limite será positivo infinito multiplicado por negativo, que dá menos infinito.

Resposta

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Calcule o limite.
(a) Verifique que .
Calcule o limite.
O operador de Laplace , em , é definido por . Mostre que as funções e satisfazem a Equação de Laplace .