varphi(x, y)=l exp (-1x^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Calcule, caso existam, as derivadas parciais varphix(0,0), varphiy(0,0), varphix y(0,0) e varphiy x(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem varphix(0,0) e varphiy(0,0), e também as derivadas mistas varphixy(0,0) e varphiyx(0,0) da função dada. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais e análise de limites. Vamos precisar usar a definição de derivada parcial e estudar os limites para ver se essas derivadas existem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0). A derivada parcial varphix(0,0) é definida como:
varphix(0,0) = limh to 0 varphi(h, 0) - varphi(0,0)h
Sabemos que varphi(0,0) = 0. Então, precisamos avaliar varphi(h, 0) para h neq 0:
varphi(h, 0) = exp( -1h^2 + 0^2 ) = exp( -1h^2 )
Então, a expressão da derivada parcial fica:
varphix(0,0) = limh to 0 exp( -1h^2 )h

Passo 3

Agora, vamos analisar esse limite. À medida que h se aproxima de 0, -1h^2 tende a -infty. Então, exp( -1h^2 ) tende a 0 muito rapidamente, muito mais rápido do que h tende a 0. Portanto, o numerador tende a 0 e o denominador também tende a 0, mas o numerador o faz mais rapidamente.
Matematicamente, temos:
limh to 0 exp( -1h^2 )h = 0
Então, varphix(0,0) = 0.

Passo 4

De forma similar, vamos calcular a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0). A derivada parcial varphiy(0,0) é:
varphiy(0,0) = limk to 0 varphi(0, k) - varphi(0,0)k
Novamente, varphi(0,0) = 0 e para k neq 0:
varphi(0, k) = exp( -10^2 + k^2 ) = exp( -1k^2 )
Então, a derivada parcial fica:
varphiy(0,0) = limk to 0 exp( -1k^2 )k = 0
Pelo mesmo motivo do passo anterior, o limite é 0. Portanto, varphiy(0,0) = 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas mistas varphixy(0,0) e varphiyx(0,0). Vamos começar com varphixy(0,0), que é a derivada parcial de varphix em relação a y no ponto (0,0).
Primeiro, lembramos que já encontramos varphix(0,0) = 0. Então, precisamos calcular:
varphixy(0,0) = limk to 0 varphix(0, k) - varphix(0,0)k = limk to 0 varphix(0, k)k
Para encontrar varphix(0, k), usamos a definição da derivada parcial em relação a x no ponto (0,k):
varphix(0, k) = limh to 0 varphi(h, k) - varphi(0, k)h
Mas varphi(0, k) = exp( -1k^2 ) e varphi(h, k) = exp( -1h^2 + k^2 ). Então:
varphix(0, k) = limh to 0 exp( -1h^2 + k^2 ) - exp( -1k^2 )h

Passo 6

Analisando o limite acima, percebemos que quando h to 0, -1h^2 + k^2 to -1k^2. Então, a diferença no numerador tende a 0, e como estamos dividindo por h, que também tende a 0, precisamos usar uma análise mais cuidadosa.
No entanto, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, mas a taxa de variação do numerador é mais rápida devido à exponenciação. Portanto, este limite também resulta em 0.
Assim:
varphixy(0,0) = 0
Da mesma forma, para varphiyx(0,0):
varphiyx(0,0) = limh to 0 varphiy(h, 0) - varphiy(0,0)h = limh to 0 varphiy(h, 0)h = 0

Resposta

Todas as derivadas parciais varphix(0,0), varphiy(0,0), varphixy(0,0) e varphiyx(0,0) são iguais a zero.
varphix(0,0) = varphiy(0,0) = varphixy(0,0) = varphiyx(0,0) = 0

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