Calcule, caso existam, as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e
, e também as derivadas mistas
e
da função dada. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais e análise de limites. Vamos precisar usar a definição de derivada parcial e estudar os limites para ver se essas derivadas existem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
. A derivada parcial
é definida como:
Sabemos que
. Então, precisamos avaliar
para
:
Então, a expressão da derivada parcial fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar esse limite. À medida que
se aproxima de 0,
tende a
. Então,
tende a 0 muito rapidamente, muito mais rápido do que
tende a 0. Portanto, o numerador tende a 0 e o denominador também tende a 0, mas o numerador o faz mais rapidamente.
Matematicamente, temos:
Então,
.
Passo 4
De forma similar, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
. A derivada parcial
é:
Novamente,
e para
:
Então, a derivada parcial fica:
Pelo mesmo motivo do passo anterior, o limite é 0. Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas mistas
e
. Vamos começar com
, que é a derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Primeiro, lembramos que já encontramos
. Então, precisamos calcular:
Para encontrar
, usamos a definição da derivada parcial em relação a
no ponto
:
Mas
e
. Então:
Passo 6
Analisando o limite acima, percebemos que quando
,
. Então, a diferença no numerador tende a 0, e como estamos dividindo por
, que também tende a 0, precisamos usar uma análise mais cuidadosa.
No entanto, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, mas a taxa de variação do numerador é mais rápida devido à exponenciação. Portanto, este limite também resulta em 0.
Assim:
Da mesma forma, para
:
Resposta
Todas as derivadas parciais
,
,
e
são iguais a zero.