O operador de Laplace , em , é definido por . Mostre que as funções e satisfazem a Equação de Laplace .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo a Equação de Laplace. A gente precisa mostrar que duas funções específicas satisfazem a Ecução de Laplace, que é dada por . Vamos usar derivadas parciais para isso.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e .

Passo 3

Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 5

Somando as duas segundas derivadas para a Equação de Laplace:
Então, a primeira função satisfaz a Equação de Laplace.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda função: . Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e .

Passo 7

Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 8

Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :

Passo 9

Somando as duas segundas derivadas para a Equação de Laplace:
Então, a segunda função também satisfaz a Equação de Laplace.

Resposta

Ambas as funções e satisfazem a Equação de Laplace .

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Se é dada por: se e , prove que:
(b) As derivadas parciais e existem em todo , mas não são contínuas em .