O operador de Laplace De, em R^2, é definido por De. Mostre que as funções u(x, y)= arctan (y / x) e u(x, y)=e^x cos y satisfazem a Equação de Laplace De.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo a Equação de Laplace. A gente precisa mostrar que duas funções específicas satisfazem a Ecução de Laplace, que é dada por De. Vamos usar derivadas parciais para isso.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: u(x, y) = arctan(yx). Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a x e y.

Passo 3

Calculando a primeira derivada parcial de u em relação a x:
partial upartial x = -yx^2 + y^2
Agora, a segunda derivada parcial em relação a x:
partial^2 upartial x^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Calculando a primeira derivada parcial de u em relação a y:
partial upartial y = xx^2 + y^2
Agora, a segunda derivada parcial em relação a y:
partial^2 upartial y^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Somando as duas segundas derivadas para a Equação de Laplace:
De
Então, a primeira função satisfaz a Equação de Laplace.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda função: u(x, y) = e^x cos y. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a x e y.

Passo 7

Calculando a primeira derivada parcial de u em relação a x:
partial upartial x = e^x cos y
Agora, a segunda derivada parcial em relação a x:
partial^2 upartial x^2 = e^x cos y

Passo 8

Calculando a primeira derivada parcial de u em relação a y:
partial upartial y = -e^x sin y
Agora, a segunda derivada parcial em relação a y:
partial^2 upartial y^2 = -e^x cos y

Passo 9

Somando as duas segundas derivadas para a Equação de Laplace:
De
Então, a segunda função também satisfaz a Equação de Laplace.

Resposta

Ambas as funções u(x, y) = arctan(yx) e u(x, y) = e^x cos y satisfazem a Equação de Laplace De.

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