O operador de Laplace
, em
, é definido por
. Mostre que as funções
e
satisfazem a Equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo a Equação de Laplace. A gente precisa mostrar que duas funções específicas satisfazem a Ecução de Laplace, que é dada por
. Vamos usar derivadas parciais para isso.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Somando as duas segundas derivadas para a Equação de Laplace:
Então, a primeira função satisfaz a Equação de Laplace.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda função:
. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
.
Passo 7
Calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 8
Calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 9
Somando as duas segundas derivadas para a Equação de Laplace:
Então, a segunda função também satisfaz a Equação de Laplace.
Resposta
Ambas as funções
e
satisfazem a Equação de Laplace
.