O operador de Laplace , em , é definido por . Mostre que as funções e satisfazem a Equação de Laplace .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo a Equação de Laplace. A gente precisa mostrar que duas funções específicas satisfazem a Ecução de Laplace, que é dada por . Vamos usar derivadas parciais para isso.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função: . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e .
Passo 3
Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :
Passo 4
Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :
Passo 5
Somando as duas segundas derivadas para a Equação de Laplace:
Então, a primeira função satisfaz a Equação de Laplace.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda função: . Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e .
Passo 7
Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :
Passo 8
Calculando a primeira derivada parcial de em relação a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :
Passo 9
Somando as duas segundas derivadas para a Equação de Laplace:
Então, a segunda função também satisfaz a Equação de Laplace.
Resposta
Ambas as funções e satisfazem a Equação de Laplace .