Calcule o limite.
lim x 0 raiz3+2 x-raiz3-3 xx

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse tipo de limite envolve radicais e, para resolvê-lo, vamos utilizar uma técnica chamada racionalização.

Passo 2

A racionalização é uma estratégia útil quando temos radicais no numerador ou denominador. Aqui, nosso objetivo é eliminar os radicais do numerador para simplificar a expressão. Para isso, vamos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador. O conjugado de é .

Passo 3

Fazendo essa multiplicação, temos:
raiz3+2x - raiz3-3xx times raiz3+2x + raiz3-3xraiz3+2x + raiz3-3x = (raiz3+2x)^2 - (raiz3-3x)^2x (raiz3+2x + raiz3-3x)
Aqui, usamos a propriedade para simplificar o numerador.

Passo 4

Agora, vamos simplificar os quadrados:
(raiz3+2x)^2 = 3 + 2x e (raiz3-3x)^2 = 3 - 3x
Substituindo na expressão, temos:
(3 + 2x) - (3 - 3x)x (raiz3+2x + raiz3-3x) = 3 + 2x - 3 + 3xx (raiz3+2x + raiz3-3x) = 5xx (raiz3+2x + raiz3-3x)

Passo 5

Podemos simplificar o 5xx (raiz3+2x + raiz3-3x) = 5raiz3+2x + raiz3-3x que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada quando limx to 0 5raiz3+2x + raiz3-3x = 5raiz3+0 + raiz3-0 = 5raiz3 + raiz3 = 52raiz3 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é .

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