Calcule a soma das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a soma da série
. Aqui, estamos lidando com uma série infinita envolvendo logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries telescópicas, que são aquelas onde muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Uma série telescópica é uma sequência infinita onde, ao expandirmos os termos, a maioria deles se anula. No nosso caso, cada termo da série é
. Vamos ver como isso funciona.
Passo 3
Vamos expandir os primeiros termos da série para visualizar o cancelamento:
Como você pode ver,
aparece com sinal negativo no primeiro termo e com sinal positivo no segundo termo, então eles se cancelam. O mesmo acontece com
,
, e assim por diante.
Passo 4
Depois do cancelamento, restam apenas os termos que não têm cancelamento, que são o primeiro e o último termo da série. No entanto, como a série vai até o infinito, o último termo tende a zero. Assim, a soma fica:
Passo 5
Sabemos que
. Então, nossa expressão fica:
Isso indica que a série diverge, ou seja, ela não converge para um valor finito.
Resposta
A soma da série
é
, ou seja, a série diverge.
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