Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=2^infty(ln n-ln (n+1))

Passo 1

Beleza, vamos calcular a soma da série . Aqui, estamos lidando com uma série infinita envolvendo logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries telescópicas, que são aquelas onde muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Uma série telescópica é uma sequência infinita onde, ao expandirmos os termos, a maioria deles se anula. No nosso caso, cada termo da série é . Vamos ver como isso funciona.

Passo 3

Vamos expandir os primeiros termos da série para visualizar o cancelamento:
(ln 2 - ln 3) + (ln 3 - ln 4) + (ln 4 - ln 5) + dots
Como você pode ver, aparece com sinal negativo no primeiro termo e com sinal positivo no segundo termo, então eles se cancelam. O mesmo acontece com , , e assim por diante.

Passo 4

Depois do cancelamento, restam apenas os termos que não têm cancelamento, que são o primeiro e o último termo da série. No entanto, como a série vai até o infinito, o último termo tende a zero. Assim, a soma fica:
ln 2 - limn to infty ln (n+1)

Passo 5

Sabemos que ln 2 - infty = -infty . Então, nossa expressão fica:
Isso indica que a série diverge, ou seja, ela não converge para um valor finito.

Resposta

A soma da série é , ou seja, a série diverge.

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