Calcule o limite
Justifique todos os passos.
Passo 1
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão:
Aqui estamos trabalhando com cálculo de limites, uma parte da matemática que estuda o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um certo valor. Para resolver esse limite, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar a forma indeterminada que aparece.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando substituímos
diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
Essa é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos de uma técnica para simplificar a expressão e encontrar o limite. Uma técnica útil nesse caso é racionalizar o numerador.
Passo 3
Para racionalizar o numerador, vamos multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Assim, multiplicamos a fração por
:
Passo 4
No numerador, aplicamos a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, podemos simplificar o
que está no numerador e no denominador:
Passo 6
Com a expressão simplificada, agora substituímos
para calcular o limite:
Resposta
O limite é
.