Calcule o limite
lim x 0 raizx^2+9-3x^2
Justifique todos os passos.

Passo 1

Vamos calcular o limite quando lim x 0 raizx^2+9-3x^2 se aproxima de 0 para a expressão:
Aqui estamos trabalhando com cálculo de limites, uma parte da matemática que estuda o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um certo valor. Para resolver esse limite, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar a forma indeterminada que aparece.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando substituímos raiz0^2+9-30^2 = 3-30 = 00 diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
Essa é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos de uma técnica para simplificar a expressão e encontrar o limite. Uma técnica útil nesse caso é racionalizar o numerador.

Passo 3

Para racionalizar o numerador, vamos multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx^2+9-3x^2 times raizx^2+9+3raizx^2+9+3 é . Assim, multiplicamos a fração por :

Passo 4

No numerador, aplicamos a identidade (raizx^2+9)^2 - 3^2 = (x^2 + 9) - 9 = x^2 :
x^2x^2 (raizx^2+9 + 3)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar o 1raizx^2+9 + 3 que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora substituímos 1raiz0^2+9 + 3 = 13 + 3 = 16 para calcular o limite:

Resposta

O limite é .

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