Calcule o limite: lim x 0 tan (n4 cos (sin x^1 / 3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem o seguinte problema:
lim x 0 tan (n4 cos (sin x^1 / 3))
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um assunto da Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções trigonométricas como o seno e o cosseno, além de como elas se comportam quando seus argumentos se aproximam de certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro da expressão conforme sin x^1/3 se aproxima de 0. Olha só:
sin x^1/3 approx x^1/3
Quando está perto de 0, também está perto de 0. Sabemos que para valores pequenos, é aproximadamente igual a . Então,

Passo 3

Agora, vamos olhar para o cosseno dessa expressão:
cos (sin x^1/3) approx cos(x^1/3)
Para valores pequenos, cos(x^1/3) approx 1 é aproximadamente igual a 1, já que o cosseno de 0 é 1 e a função é contínua. Então,

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
n4 cos (sin x^1/3) approx n4 times 1 = n4
Então, conforme se aproxima de 0, o argumento da tangente está se aproximando de .

Passo 5

Agora, aplicamos a tangente:
tan(n4)
Como todos os limites intermediários nos levaram a , o limite final é simplesmente a tangente desse valor.

Resposta

lim x 0 tan (n4 cos (sin x^1 / 3)) = tan(n4)

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