Calcule o limite
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 2 para a função
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.
Passo 2
Vamos tentar substituir
diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite assim.
No numerador:
No denominador:
Obtemos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Fatorando o numerador
:
Procuramos dois números que multiplicados dão e que, somados, dão
.
Esses números são -6 e -1.
Procuramos dois números que multiplicados dão
Esses números são -6 e -1.
Então, reescrevemos o numerador:
Fatorando o denominador
:
Reconhecemos que é uma diferença de cubos:
Reconhecemos que é uma diferença de cubos:
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Podemos cancelar o termo
que aparece no numerador e no denominador, pois
está se aproximando de 2, mas não é exatamente 2.
Ficamos com:
Passo 5
Agora, podemos substituir
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
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