Calcule o limite lim x 2 3 x^2-7 x+2x^3-8.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 2 para a função . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Vamos tentar substituir 3(2)^2 - 7(2) + 2 = 12 - 14 + 2 = 0 diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite assim.
No numerador:
(2)^3 - 8 = 8 - 8 = 0
No denominador:
Obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Fatorando o numerador 3x^2 - 6x - x + 2 = 3x(x - 2) -1(x - 2) = (3x - 1)(x - 2) :
Procuramos dois números que multiplicados dão x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) e que, somados, dão .
Esses números são -6 e -1.
Então, reescrevemos o numerador:
Fatorando o denominador :
Reconhecemos que é uma diferença de cubos:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(3x - 1)(x - 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Podemos cancelar o termo 3x - 1x^2 + 2x + 4 que aparece no numerador e no denominador, pois está se aproximando de 2, mas não é exatamente 2.
Ficamos com:

Passo 5

Agora, podemos substituir 3(2) - 1(2)^2 + 2(2) + 4 = 6 - 14 + 4 + 4 = 512 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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