Calcule os seguintes limites laterais e no infinito: lim x -2^+ x^2+3 xx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x -2^+ x^2+3 xx^2-4. Esse exercício está ligado ao estudo de limites Laterais, que são limites que analisamos quando a variável se aproxima de um ponto por um lado específico (à esquerda ou à direita). Aqui, vamos calcular o limite quando se aproxima de pela direita ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções polinomiais se comportam perto desse ponto e verificar se há alguma indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir (-2)^2 + 3(-2)(-2)^2 - 4 = 4 - 64 - 4 = -20 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A substituição direta nos dá , o que sugere que o limite pode tender para ou , dependendo do comportamento das funções próximas a .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando (-2)^2 + 3(-2) = 4 - 6 = -2 se aproxima de (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 pela direita, ou seja, quando está um pouco maior que , como , por exemplo.
  • Numerador:
    Quando se aproxima de , o numerador está próximo de , ligeiramente maior ou menor dependendo da proximidade.
  • Denominador:
    O denominador está se aproximando de zero. Precisamos entender se está se aproximando de zero pelo valor positivo ou negativo.

Passo 4

Vamos analisar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) mais de perto. Podemos fatorar essa expressão:
Quando se aproxima de , está se aproximando de zero positiva, já que é um pouco maior que . Já está aproximadamente , um valor negativo. Então, o denominador está se aproximando de zero a partir do valor negativo.

Passo 5

Agora, sabemos que:
  • O numerador está próximo de (um valor negativo).
  • O denominador está se aproximando de zero pelo lado negativo.
Então, a expressão completa ó resultará em um valor positivo muito grande, ou seja, tende para .

Resposta

lim x -2^+ x^2+3 xx^2-4 = +infty

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