Calcule o limite.
lim x 2 x^2-2 xx^3-4 x^2+4 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema: precisamos calcular o limite quando limx 2 x^2 - 2xx^3 - 4x^2 + 4x se aproxima de 2 para a expressão
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar fatorando o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Numerador:
x^2 - 2x = x(x - 2)
Denominador:
x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2

Passo 3

Agora, substituindo as fatorações na expressão original:
x(x - 2)x(x - 2)^2
Podemos cancelar o termo x - 2(x - 2)^2 que aparece no numerador e no denominador:

Passo 4

Simplificando ainda mais, temos:
1x - 2

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de 2.
  • Se se aproxima de 2 pela direita ( ):
    é um número positivo pequeno, então tende a .
  • Se se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    é um número negativo pequeno, então tende a .

Resposta

O limite não existe porque a expressão tende a pela direita e a pela esquerda.

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