Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
sumn=0^infty nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a série sumn=0^infty nn^2+1. A missão é descobrir se essa série converge (isto é, soma para um número finito) ou não converge. Para fazer isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta matemática para verificar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Essencialmente, ele nos diz que se a função é positiva, contínua e decrescente para (onde é algum número natural), então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 3

Vamos verificar se a função f'(x) = (1)(x^2 + 1) - x(2x)(x^2 + 1)^2 = x^2 + 1 - 2x^2(x^2 + 1)^2 = 1 - x^2(x^2 + 1)^2 satisfaz as condições:
  1. Positiva: Para , tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então .
  2. Contínua: A função é uma razão de polinômios, e o denominador nunca é zero, então é contínua para todo .
  3. Decrescente: Vamos derivar para verificar se está decrescendo: Para , , então . Portanto, é decrescente para .

Passo 4

Como todas as condições do Teste da Integral são satisfeitas para integral1^infty xx^2 + 1 , dx , podemos aplicar o teste e calcular a integral:
integral xx^2 + 1 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C
Fazendo uma substituição simples, deixe limt to infty [ 12 ln(t^2 + 1) - 12 ln(2) ] = infty - 12 ln(2) = infty , então ou . Substituindo:
Avaliando no intervalo de 1 a :
Como a integral diverge (vai para o infinito), pelo Teste da Integral, a série também não converge.

Resposta

A série sumn=0^infty nn^2+1 não converge.

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