Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a série . A missão é descobrir se essa série converge (isto é, soma para um número finito) ou não converge. Para fazer isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta matemática para verificar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Essencialmente, ele nos diz que se a função é positiva, contínua e decrescente para (onde é algum número natural), então a série converge se e somente se a integral converge.
Passo 3
Vamos verificar se a função satisfaz as condições:
Positiva: Para , tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então .
Contínua: A função é uma razão de polinômios, e o denominador nunca é zero, então é contínua para todo .
Decrescente: Vamos derivar para verificar se está decrescendo:Para , , então . Portanto, é decrescente para .
Passo 4
Como todas as condições do Teste da Integral são satisfeitas para , podemos aplicar o teste e calcular a integral:
Fazendo uma substituição simples, deixe , então ou . Substituindo:
Avaliando no intervalo de 1 a :
Como a integral diverge (vai para o infinito), pelo Teste da Integral, a série também não converge.