Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a série
. A missão é descobrir se essa série converge (isto é, soma para um número finito) ou não converge. Para fazer isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta matemática para verificar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Essencialmente, ele nos diz que se a função
é positiva, contínua e decrescente para
(onde
é algum número natural), então a série
converge se e somente se a integral
converge.
Passo 3
Vamos verificar se a função
satisfaz as condições:
- Positiva: Para
, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então . - Contínua: A função é uma razão de polinômios, e o denominador nunca é zero, então
é contínua para todo . - Decrescente: Vamos derivar
para verificar se está decrescendo: Para , , então . Portanto, é decrescente para .
Passo 4
Como todas as condições do Teste da Integral são satisfeitas para
, podemos aplicar o teste e calcular a integral:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
ou
. Substituindo:
Avaliando no intervalo de 1 a
:
Como a integral diverge (vai para o infinito), pelo Teste da Integral, a série também não converge.
Resposta
A série
não converge.