Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou não usando o Teste de Comparação por Limites. A série é:
Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge, usando o limite entre os termos delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o comportamento dos termos quando fica bem grande. Olhando para o numerador e o denominador , percebemos que os termos de maior grau são e . Então, para grande, a fração se aproxima de:
Isso sugere que a gente pode comparar nossa série com a série , que é a série harmônica.
Passo 3
Sabemos que a série harmônica diverge. Para aplicar o Teste de Comparação por Limites, vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão do limite:
À medida que tende ao infinito, os termos com e menores se tornam insignificantes, então o limite fica:
Passo 5
O limite que encontramos é , que é um número positivo e diferente de zero. De acordo com o Teste de Comparação por Limites, se o limite dos quocientes dos termos das duas séries for um número finito e positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência.
Passo 6
Como a série com a qual comparamos, a série harmônica , diverge, isso significa que a nossa série original também diverge.
Resposta
A série diverge pelo Teste de Comparação por Limites.