Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=0^infty 5 n+13 n^2+2 n-10

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita para analisar se ela converge ou não usando o Teste de Comparação por Limites. A série é:
sumn=0^infty 5n + 13n^2 + 2n - 10
Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge, usando o limite entre os termos delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o comportamento dos termos quando 5n3n^2 = 53n fica bem grande. Olhando para o numerador e o denominador , percebemos que os termos de maior grau são e . Então, para grande, a fração se aproxima de:
Isso sugere que a gente pode comparar nossa série com a série , que é a série harmônica.

Passo 3

Sabemos que a série harmônica limn to infty 5n + 13n^2 + 2n - 101n = limn to infty (5n + 1) cdot n3n^2 + 2n - 10 diverge. Para aplicar o Teste de Comparação por Limites, vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries:

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão do limite:
limn to infty 5n^2 + n3n^2 + 2n - 10 = limn to infty 5 + 1n3 + 2n - 10n^2
À medida que 53 tende ao infinito, os termos com e menores se tornam insignificantes, então o limite fica:

Passo 5

O limite que encontramos é , que é um número positivo e diferente de zero. De acordo com o Teste de Comparação por Limites, se o limite dos quocientes dos termos das duas séries for um número finito e positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência.

Passo 6

Como a série com a qual comparamos, a série harmônica , diverge, isso significa que a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste de Comparação por Limites.

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Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
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