Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty n+1n^2 raizn-7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar a convergência dela usando o Teste de Comparação por Limites. A série é:
sumn=1^infty n+1n^2 raizn-7
Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e o Teste de Comparação por Limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série pra ficar mais fácil de trabalhar. Olha só:
n+1n^2 raizn-7 = n+1n^5/2 - 7
Aqui, usamos que .

Passo 3

Agora, a ideia do Teste de Comparação por Limites é comparar essa série com uma outra série que a gente já sabe se converge ou diverge. Geralmente, a gente escolhe uma série do tipo , conhecida como série p.
Vamos escolher porque observando a expressão simplificada, o termo dominante no numerador é e no denominador é , então a série se comporta como .

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste de Comparação por Limites, que diz que se limn to infty n+1n^5/2 - 71n^3/2 = limn to infty (n+1) cdot n^3/2n^5/2 - 7 onde (n+1) cdot n^3/2n^5/2 - 7 = n^5/2 + n^3/2n^5/2 - 7 , então ambas as séries 1 + 1n1 - 7n^5/2 longrightarrow 1 + 01 - 0 = 1 e convergem ou divergem juntas.
Vamos calcular esse limite:
Simplificando os termos:
Dividindo numerador e denominador por :
Então, o limite L é 1, que está entre 0 e infinito.

Passo 5

Como o limite L é 1 e a série é uma série p com , sabemos que essa série converge.
Pelo Teste de Comparação por Limites, como L é finito e positivo, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
sumn=0^infty nn^2+1
Para a função f definida por
f(x)= -x-1 & se x<0 -x^2-1 & se 0 <= x<1 0 & se x=1 x-3 & se 1= 2
indique o valor de cada quantidade
lim x 2 f(x)
Calcule o limite.
lim x 2 x^2-2 xx^3-4 x^2+4 x
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=0^infty 5 n+13 n^2+2 n-10