Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar a convergência dela usando o Teste de Comparação por Limites. A série é:
Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e o Teste de Comparação por Limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série pra ficar mais fácil de trabalhar. Olha só:
Aqui, usamos que .
Passo 3
Agora, a ideia do Teste de Comparação por Limites é comparar essa série com uma outra série que a gente já sabe se converge ou diverge. Geralmente, a gente escolhe uma série do tipo , conhecida como série p.
Vamos escolher porque observando a expressão simplificada, o termo dominante no numerador é e no denominador é , então a série se comporta como .
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste de Comparação por Limites, que diz que se onde , então ambas as séries e convergem ou divergem juntas.
Vamos calcular esse limite:
Simplificando os termos:
Dividindo numerador e denominador por :
Então, o limite L é 1, que está entre 0 e infinito.
Passo 5
Como o limite L é 1 e a série é uma série p com , sabemos que essa série converge.
Pelo Teste de Comparação por Limites, como L é finito e positivo, a série original também converge.