Calcule o limite
lim (x, y) (0,0) arctg(x+y)-(x+y)raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , indo para . O exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites multivariáveis. Para resolver, vamos precisar entender como expandir funções como a arctangente e usar coordenadas polares para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro do limite:
arctan(x + y) - (x + y)raizx^2 + y^2
Queremos entender o comportamento dessa expressão quando se aproxima de .

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de arctan(z) approx z - z^33 + dots , a função arctan pode ser aproximada pela série de Taylor:
arctan(x + y) approx (x + y) - (x + y)^33
Nesse caso, , então podemos escrever:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
(x + y) - (x + y)^33 - (x + y)raizx^2 + y^2 = - (x + y)^33 raizx^2 + y^2
Simplificando:
-(x + y)^33 raizx^2 + y^2

Passo 5

Para facilitar o cálculo do limite, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
r = raizx^2 + y^2
Isso nos ajuda a expressar a função em termos de e , onde tende a 0.

Passo 6

Substituindo x + y = r cos(theta) + r sin(theta) = r (cos(theta) + sin(theta)) e -[r (cos(theta) + sin(theta))]^33 r = -r^3 (cos(theta) + sin(theta))^33 r = -r^2 (cos(theta) + sin(theta))^33 por suas expressões em coordenadas polares:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, observamos que à medida que tende a 0, também tende a 0. O termo é limitado para qualquer , então o produto com vai para 0.

Passo 8

Portanto, o limite da expressão toda quando tende a 0 é 0.

Resposta

0

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