Calcule o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, indo para
. O exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites multivariáveis. Para resolver, vamos precisar entender como expandir funções como a arctangente e usar coordenadas polares para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está dentro do limite:
Queremos entender o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
.
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de
, a função arctan pode ser aproximada pela série de Taylor:
Nesse caso,
, então podemos escrever:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Simplificando:
Passo 5
Para facilitar o cálculo do limite, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
Isso nos ajuda a expressar a função em termos de
e
, onde
tende a 0.
Passo 6
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, observamos que à medida que
tende a 0,
também tende a 0. O termo
é limitado para qualquer
, então o produto com
vai para 0.
Passo 8
Portanto, o limite da expressão toda quando
tende a 0 é 0.
Resposta
0
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto
:
.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta: existe uma função
tal que
Dica: use o teorema de Clairaut-Schwarz
Considere a função
.
Encontre todos o pontos do domínio de
para os quais o plano tangente ao gráfico de
no ponto
é paralelo ao plano
.
Encontre todos o pontos