Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto P:
f(x, y) = ln(2*x + y), P = (-1, 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Isso entra no conteúdo de cálculo multivariável, especificamente em derivadas parciais e planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y, e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto P. Substituindo e na função:
Então, o ponto no espaço é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y. A derivada parcial em relação a x é:
E a derivada parcial em relação a y é:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o plano tangente usando a fórmula:
Onde (a, b) é o ponto e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:

Passo 7

Explicando rapidamente, esse é o jeito de construir o plano tangente: começamos pelo ponto, adicionamos a inclinação na direção de x multiplicada pela variação em x, e a inclinação na direção de y multiplicada pela variação em y.

Passo 8

Agora, vamos deixar a equação do plano na forma padrão:
Simplificando mais:

Resposta

A equação do plano tangente é .

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = { (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2), 0, se (x, y) ≠ (0,0) = (0,0) }.
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = arctg(x + 2y), P = (1, 0).
Calcule o limite
lim (x, y) (0,0) arctg(x+y)-(x+y)raizx^2+y^2
Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta: existe uma função f: R^2 R tal que
partial fpartial x(x, y)=x cos y and partial fpartial y(x, y)=x^2 para todo (x, y) in R^2

Dica: use o teorema de Clairaut-Schwarz