Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto P:
f(x, y) = ln(2*x + y), P = (-1, 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Isso entra no conteúdo de cálculo multivariável, especificamente em derivadas parciais e planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y, e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto P. Substituindo e na função:
Então, o ponto no espaço é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y. A derivada parcial em relação a x é:
E a derivada parcial em relação a y é:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o plano tangente usando a fórmula:
Onde (a, b) é o ponto e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:

Passo 7

Explicando rapidamente, esse é o jeito de construir o plano tangente: começamos pelo ponto, adicionamos a inclinação na direção de x multiplicada pela variação em x, e a inclinação na direção de y multiplicada pela variação em y.

Passo 8

Agora, vamos deixar a equação do plano na forma padrão:
Simplificando mais:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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