Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso entra no conteúdo de cálculo multivariável, especificamente em derivadas parciais e planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto no espaço é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o plano tangente usando a fórmula:
Onde
é o ponto
e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Explicando rapidamente, esse é o jeito de construir o plano tangente: começamos pelo ponto, adicionamos a inclinação na direção de
multiplicada pela variação em
, e a inclinação na direção de
multiplicada pela variação em
.
Passo 8
Agora, vamos deixar a equação do plano na forma padrão:
Simplificando mais:
Resposta
A equação do plano tangente é
.
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. Justifique.
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. Justifique.
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tal que