Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = { (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2), 0, se (x, y) ≠ (0,0) = (0,0) }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função dada é diferenciável no ponto . Estamos trabalhando com cálculo multivariado, especificamente com diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e verificar algumas condições, como continuidade e as derivadas parciais no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função está bem definida no ponto . A função é definida por partes:
Queremos saber se é diferenciável em . Mas antes de mais nada, vamos verificar se a função é contínua nesse ponto, porque se não for contínua, já sabemos que não pode ser diferenciável.

Passo 3

Para verificar a continuidade em , precisamos que o limite de quando se aproxima de seja igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Vamos calcular:
Uma forma de abordar esse limite é usar coordenadas polares, onde e . Assim, a expressão fica:
O limite depende do ângulo . Isso significa que dependendo do caminho que a gente tomar para chegar em , o limite pode variar. Por exemplo:
  • Se , então , e .
  • Se , então , e .
  • Se , então , e .
Como o limite depende do caminho, ele não existe de forma única. Portanto, o limite não é igual a 0, e a função não é contínua em .

Passo 4

Como a função não é contínua em , podemos concluir imediatamente que ela não é diferenciável nesse ponto. Diferenciabilidade implica continuidade, então se a função não é contínua, ela não pode ser diferenciável.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto porque não é contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y) = arctg(x + 2y), P = (1, 0).
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função: f(x, y) = x / (x + y)
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto P:
f(x, y) = ln(2*x + y), P = (-1, 3).
Calcule o limite
lim (x, y) (0,0) arctg(x+y)-(x+y)raizx^2+y^2