Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função dada é diferenciável no ponto
. Estamos trabalhando com cálculo multivariado, especificamente com diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e verificar algumas condições, como continuidade e as derivadas parciais no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função está bem definida no ponto
. A função é definida por partes:
Queremos saber se
é diferenciável em
. Mas antes de mais nada, vamos verificar se a função é contínua nesse ponto, porque se não for contínua, já sabemos que não pode ser diferenciável.
Passo 3
Para verificar a continuidade em
, precisamos que o limite de
quando
se aproxima de
seja igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Vamos calcular:
Uma forma de abordar esse limite é usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, a expressão fica:
O limite depende do ângulo
. Isso significa que dependendo do caminho que a gente tomar para chegar em
, o limite pode variar. Por exemplo:
- Se
, então , e . - Se
, então , e . - Se
, então , e .
Como o limite depende do caminho, ele não existe de forma única. Portanto, o limite não é igual a 0, e a função não é contínua em
.
Passo 4
Como a função não é contínua em
, podemos concluir imediatamente que ela não é diferenciável nesse ponto. Diferenciabilidade implica continuidade, então se a função não é contínua, ela não pode ser diferenciável.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
porque não é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto
:
.
Calcule o limite