Considere a função
.
Encontre todos o pontos
do domínio de
para os quais o plano tangente ao gráfico de
no ponto
é paralelo ao plano
.
Encontre todos o pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os pontos
onde o plano tangente ao gráfico da função
é paralelo ao plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e planos tangentes. Basicamente, vamos calcular as derivadas de
em relação a
e
, e descobrir onde elas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. A derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, então
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Usamos o mesmo raciocínio: a derivada de
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
. Aqui,
. Então:
Passo 4
Queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano
. Isso acontece quando as derivadas parciais
e
são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema:
Passo 5
Vamos resolver
:
Agora, vamos resolver
:
Resposta
O único ponto que satisfaz as condições é
.
Exercícios relacionados
Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta: existe uma função
tal que
Dica: use o teorema de Clairaut-Schwarz
Calcule o limite
Função diferenciável que não é de classe
: Considere a função
Mostre que:
as derivadas parciais não são contínuas em
.
as derivadas parciais
(2 pontos) Considere a função
definida implicitamente por
. Calcule
quando
.
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .