Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Encontre todos o pontos (x0, y0) do domínio de f para os quais o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é paralelo ao plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os pontos onde o plano tangente ao gráfico da função é paralelo ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e planos tangentes. Basicamente, vamos calcular as derivadas de em relação a e , e descobrir onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . A derivada de em relação a é multiplicado pela derivada de em relação a . Aqui, , então . Assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Usamos o mesmo raciocínio: a derivada de é multiplicado pela derivada de em relação a . Aqui, . Então:

Passo 4

Queremos que o plano tangente seja paralelo ao plano . Isso acontece quando as derivadas parciais e são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema:

Passo 5

Vamos resolver :
Agora, vamos resolver :

Resposta

O único ponto que satisfaz as condições é .

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