Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta: existe uma função f: R^2 R tal que
partial fpartial x(x, y)=x cos y and partial fpartial y(x, y)=x^2 para todo (x, y) in R^2

Dica: use o teorema de Clairaut-Schwarz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se existe uma função partial fpartial x(x, y)=x cos y e partial fpartial y(x, y)=x^2 que tenha derivadas parciais específicas:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Clairaut-Schwarz, que fala sobre a igualdade das derivadas parciais mistas, ou seja, se .

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais mistas da função . Isso significa derivar em relação a e em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando fxy = partialpartial y ( partial fpartial x ) = partialpartial y (x cos y) = -x sin y :
fyx = partialpartial x ( partial fpartial y ) = partialpartial x (x^2) = 2x
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Segundo o Teorema de Clairaut-Schwarz, para que a função -x sin y neq 2x para todo (x, y) in R^2 exista e seja duas vezes diferenciável, as derivadas parciais mistas devem ser iguais, ou seja, . Mas observamos que:
Isso significa que as derivadas parciais mistas não são iguais.

Resposta

Falsa. Não existe tal função porque as derivadas parciais mistas e não são iguais.

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