Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta: existe uma função f: R^2 R tal que
partial fpartial x(x, y)=x cos y and partial fpartial y(x, y)=x^2 para todo (x, y) in R^2

Dica: use o teorema de Clairaut-Schwarz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se existe uma função partial fpartial x(x, y)=x cos y e partial fpartial y(x, y)=x^2 que tenha derivadas parciais específicas:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Clairaut-Schwarz, que fala sobre a igualdade das derivadas parciais mistas, ou seja, se .

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais mistas da função . Isso significa derivar em relação a e em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando fxy = partialpartial y ( partial fpartial x ) = partialpartial y (x cos y) = -x sin y :
fyx = partialpartial x ( partial fpartial y ) = partialpartial x (x^2) = 2x
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Segundo o Teorema de Clairaut-Schwarz, para que a função -x sin y neq 2x para todo (x, y) in R^2 exista e seja duas vezes diferenciável, as derivadas parciais mistas devem ser iguais, ou seja, . Mas observamos que:
Isso significa que as derivadas parciais mistas não são iguais.

Resposta

Falsa. Não existe tal função porque as derivadas parciais mistas e não são iguais.

Exercícios relacionados

Calcule o limite
lim (x, y) (0,0) arctg(x+y)-(x+y)raizx^2+y^2
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto P:
f(x, y) = ln(2*x + y), P = (-1, 3).
Considere a função f(x, y) = arctg(x^2 - y^2).
Encontre todos o pontos (x0, y0) do domínio de f para os quais o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é paralelo ao plano x y.
Função diferenciável que não é de classe C^1 : Considere a função
f(x, y)=l (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Mostre que:
as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y não são contínuas em (0,0).