Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justique sua resposta: existe uma função
tal que
Dica: use o teorema de Clairaut-Schwarz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se existe uma função
que tenha derivadas parciais específicas:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Clairaut-Schwarz, que fala sobre a igualdade das derivadas parciais mistas, ou seja, se
.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais mistas da função
. Isso significa derivar
em relação a
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Segundo o Teorema de Clairaut-Schwarz, para que a função
exista e seja duas vezes diferenciável, as derivadas parciais mistas devem ser iguais, ou seja,
. Mas observamos que:
Isso significa que as derivadas parciais mistas não são iguais.
Resposta
Falsa. Não existe tal função
porque as derivadas parciais mistas
e
não são iguais.
Exercícios relacionados
Calcule o limite
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto
:
.
Considere a função
.
Encontre todos o pontos do domínio de
para os quais o plano tangente ao gráfico de
no ponto
é paralelo ao plano
.
Encontre todos o pontos
Função diferenciável que não é de classe
: Considere a função
Mostre que:
as derivadas parciais não são contínuas em
.
as derivadas parciais