Seja
a região do plano delimitada pelas curvas de equações
e
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a região
que está limitada pelas curvas
,
e
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como determinar os limites de integração para a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As curvas
e
são parábolas que abrem para a direita e para a esquerda, respectivamente. A reta
corta essas parábolas. Para entender melhor, vamos encontrar onde essas curvas se interceptam.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas com a reta
:
Para
quando
:
Para
quando
:
Então, as interseções são nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para cada
entre
e
,
varia de
a
. Isso porque para cada valor de
,
começa em
(à esquerda) e vai até
(à direita).
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro integramos em relação a
de
a
, e depois em relação a
de 0 a 1:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Note que
é constante em relação a
, então a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 9
Calculamos o valor da integral:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Calcule, utilizando mudança de variáveis,
, a integral
, sendo R a
região limitada pelas retas .
região limitada pelas retas
Calcule o limite.
Calcule o limite.