Seja D a região do plano delimitada pelas curvas de equações x=y^2, x=-y^2 e y=1. Calcule integral duplaD e^y^3 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região que está limitada pelas curvas , e . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como determinar os limites de integração para a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As curvas e são parábolas que abrem para a direita e para a esquerda, respectivamente. A reta corta essas parábolas. Para entender melhor, vamos encontrar onde essas curvas se interceptam.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas com a reta x = (1)^2 = 1 :
Para x = -(1)^2 = -1 quando :
Para quando :
Então, as interseções são nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para cada entre e , varia de a . Isso porque para cada valor de , começa em (à esquerda) e vai até (à direita).

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro integramos em relação a integral duplaD e^y^3 , dx , dy = integral0^1 ( integral-y^2^y^2 e^y^3 , dx ) dy de a , e depois em relação a de 0 a 1:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral-y^2^y^2 e^y^3 , dx = e^y^3 cdot ( y^2 - (-y^2) ) = e^y^3 cdot 2y^2 . Note que é constante em relação a , então a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 2y^2 e^y^3 , dy

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe 2 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy = 2 cdot 13 integral0^1 e^u , du = 23 [ e^u ]0^1 , então ou . Substituindo na integral:

Passo 9

Calculamos o valor da integral:
23 ( e^1 - e^0 ) = 23 (e - 1)

Resposta

A integral dupla vale .

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