Seja a região do plano delimitada pelas curvas de equações e . Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região que está limitada pelas curvas , e . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como determinar os limites de integração para a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As curvas e são parábolas que abrem para a direita e para a esquerda, respectivamente. A reta corta essas parábolas. Para entender melhor, vamos encontrar onde essas curvas se interceptam.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção das parábolas com a reta :
Para quando :
Para quando :
Então, as interseções são nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para cada entre e , varia de a . Isso porque para cada valor de , começa em (à esquerda) e vai até (à direita).

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro integramos em relação a de a , e depois em relação a de 0 a 1:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a . Note que é constante em relação a , então a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe , então ou . Substituindo na integral:

Passo 9

Calculamos o valor da integral:

Resposta

A integral dupla vale .

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Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
Calcule, utilizando mudança de variáveis, , a integral , sendo R a
região limitada pelas retas .
Calcule o limite.
Calcule o limite.