As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano ? Justifique cada resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente quer saber se a função é contínua em todos os pontos do plano . Pra isso, vamos precisar entender o que é continuidade e checar se a função tem algum ponto onde ela possa “quebrar” ou não estar definida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se pequenos movimentos nas entradas (neste caso, e ) resultam em pequenos movimentos na saída ( ). Não deve ter saltos, buracos ou assíntotas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Precisamos verificar se o denominador é sempre diferente de zero, porque se o denominador for zero, a função não estaria definida nesse ponto, o que quebra a continuidade.

Passo 4

Vamos analisar o denominador:
Como e são sempre iguais ou maiores que zero, a soma será sempre maior ou igual a 1. Portanto, a raiz quadrada dessa soma nunca será zero:
Então, o denominador nunca é zero para nenhum ponto no plano.

Passo 5

Além disso, tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas. O quociente de duas funções contínuas, onde o denominador nunca é zero, também é contínuo. Isso significa que não tem pontos de descontinuidade.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano porque o denominador nunca é zero e tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas.

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calcule o limite:
Considere a equação . Algumas soluções foram perdidas no processo?
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. .
Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a. .