As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano
? Justifique cada resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente quer saber se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Pra isso, vamos precisar entender o que é continuidade e checar se a função tem algum ponto onde ela possa “quebrar” ou não estar definida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se pequenos movimentos nas entradas (neste caso,
e
) resultam em pequenos movimentos na saída (
). Não deve ter saltos, buracos ou assíntotas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Precisamos verificar se o denominador
é sempre diferente de zero, porque se o denominador for zero, a função não estaria definida nesse ponto, o que quebra a continuidade.
Passo 4
Vamos analisar o denominador:
Como
e
são sempre iguais ou maiores que zero, a soma
será sempre maior ou igual a 1. Portanto, a raiz quadrada dessa soma nunca será zero:
Então, o denominador nunca é zero para nenhum ponto
no plano.
Passo 5
Além disso, tanto o numerador
quanto o denominador
são funções contínuas. O quociente de duas funções contínuas, onde o denominador nunca é zero, também é contínuo. Isso significa que
não tem pontos de descontinuidade.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
porque o denominador nunca é zero e tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas.
Exercícios relacionados
calcule o limite:
Considere a equação
. Algumas soluções foram perdidas no processo?
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
.
Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
.