Calcule as seguintes derivadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo como a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia. Essas regras nos ajudam a encontrar a derivada de funções que são combinações de outras funções mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Note que dividir por algo é o mesmo que multiplicar pelo inverso desse algo. Então, podemos escrever:
Agora, temos um produto de duas funções:
e
.
Passo 3
Para derivar
, que é o produto de
e
, usamos a regra do produto. A regra do produto diz que:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 4
Vamos calcular
e
individualmente.
Primeiro, para
:
Agora, para
, precisamos usar a regra da cadeia porque temos uma função composta. A regra da cadeia diz que se
, então:
Aplicando isso a
:
Aqui, derivamos o interior
e obtivemos
.
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na fórmula da regra do produto:
Passo 6
Vamos simplificar um pouco essa expressão. Primeiro, simplificamos os coeficientes:
Passo 7
Para deixar a resposta mais elegante, podemos fatorar
:
Passo 8
Finalmente, podemos deixar a derivada assim, que é uma forma totalmente válida e simplificada:
Resposta
A derivada da função é: