Calcule as seguintes derivadas f(x) = (2 * x) / ((x + raiz(x))^(1/3))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo como a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia. Essas regras nos ajudam a encontrar a derivada de funções que são combinações de outras funções mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Note que dividir por algo é o mesmo que multiplicar pelo inverso desse algo. Então, podemos escrever:
Agora, temos um produto de duas funções: e .

Passo 3

Para derivar , que é o produto de e , usamos a regra do produto. A regra do produto diz que:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 4

Vamos calcular e individualmente.
Primeiro, para :
Agora, para , precisamos usar a regra da cadeia porque temos uma função composta. A regra da cadeia diz que se , então:
Aplicando isso a :
Aqui, derivamos o interior e obtivemos .

Passo 5

Agora, substituímos , e na fórmula da regra do produto:

Passo 6

Vamos simplificar um pouco essa expressão. Primeiro, simplificamos os coeficientes:

Passo 7

Para deixar a resposta mais elegante, podemos fatorar :

Passo 8

Finalmente, podemos deixar a derivada assim, que é uma forma totalmente válida e simplificada:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados