Calcule o limite de limx to infty (2x^2 + 3x)/(x^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função limx to infty 2x^2 + 3xx^2 + 4. O conteúdo aqui é sobre limites de funções, especificamente de funções racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento das funções muda quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é 2x^2, e no denominador é x^2. Quando x cresce muito, esses termos vão dominar o comportamento da função, deixando de lado os termos de menor grau, como 3x e 4.

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador pelo maior grau presente, que é x^2. Assim, a expressão fica:
2x^2 + 3xx^2 + 4 = 2x^2/x^2 + 3x/x^2x^2/x^2 + 4/x^2 = 2 + 3x1 + 4x^2

Passo 4

Com isso simplificado, vamos analisar o que acontece quando x tende ao infinito:
  • 3x tende a 0 porque qualquer coisa dividida por um número muito grande fica quase zero.
  • 4x^2 também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, a expressão simplifica para:
2 + 01 + 0 = 21 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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