Calcule a integral definida de f(x) = x^2 sin x de 0 a pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de a . Isso faz parte do cálculo integral, especificamente do tópico de integrais definidas e, pra resolver essa, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é integração por partes. Essa técnica é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Ela é útil quando temos o produto de duas funções e queremos simplificar a integral. No nosso caso, temos multiplicado por , então vamos escolher qual parte será e qual será .

Passo 3

Vamos definir:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x
Escolhemos porque ao derivar, reduzimos o grau do polinômio, o que ajuda na simplificação da integral.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + integral 2x cos x , dx
Agora, ficamos com uma nova integral que também precisa ser resolvida, e vamos usar integrações por partes de novo.

Passo 5

Para resolver u = 2x Rightarrow du = 2 , dx , definimos novamente:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x
integral 2x cos x , dx = 2x sin x - integral 2 sin x , dx
Aplicando a fórmula:
Agora, a integral é simples e vamos resolvê-la.

Passo 6

Calculando integral 2 sin x , dx = -2 cos x + C :
integral 2x cos x , dx = 2x sin x + 2 cos x + C
Substituindo de volta:
integral x^2 sin x , dx = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
Agora, substituímos isso na expressão anterior:

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de [ -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x ]0^pi a -pi^2 cos pi + 2pi sin pi + 2 cos pi = -pi^2 (-1) + 0 + 2(-1) = pi^2 - 2 :
-0^2 cos 0 + 2(0) sin 0 + 2 cos 0 = 0 + 0 + 2(1) = 2
Calculando em (pi^2 - 2) - 2 = pi^2 - 4 :
Calculando em :
Subtraindo:

Resposta

A integral definida de de a é .

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