Calcule a integral definida de
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de
de
a
. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente do tópico de integrais definidas e, pra resolver essa, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é integração por partes. Essa técnica é baseada na fórmula:
Ela é útil quando temos o produto de duas funções e queremos simplificar a integral. No nosso caso, temos
multiplicado por
, então vamos escolher qual parte será
e qual será
.
Passo 3
Vamos definir:
Escolhemos
porque ao derivar, reduzimos o grau do polinômio, o que ajuda na simplificação da integral.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, ficamos com uma nova integral
que também precisa ser resolvida, e vamos usar integrações por partes de novo.
Passo 5
Para resolver
, definimos novamente:
Aplicando a fórmula:
Agora, a integral
é simples e vamos resolvê-la.
Passo 6
Calculando
:
Substituindo de volta:
Agora, substituímos isso na expressão anterior:
Passo 7
Finalmente, aplicamos os limites de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Resposta
A integral definida de
de
a
é
.
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