Se { sen(x) + cos(x) = m, sen^3(x) + cos^3(x) = n }
Então m^3 - 3m + 2n = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com seno e cosseno:
Nosso objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e propriedades de álgebra que nos ajudarão a relacionar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Vamos aplicar isso à primeira equação :
Sabemos que e , então substituímos na expressão:

Passo 3

Agora, vamos isolar :
Precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Como , temos:
Então, isolando :

Passo 4

Voltando à expressão para :
Vamos simplificar isso:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar a leitura:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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