Calcule o limite ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x^2+2 y^22 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x^2+2 y^22 x^2+y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, ou seja, quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos que pode seguir até .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para o limite existir em duas variáveis, ele precisa ser o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar em . Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher o caminho onde x^2 + 2(0)^22x^2 + (0)^2 = x^22x^2 = 12 . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é .

Passo 4

Agora, vamos escolher o caminho onde 0^2 + 2y^22(0)^2 + y^2 = 2y^2y^2 = 2 . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é .

Passo 5

Vimos que ao seguir dois caminhos diferentes, obtivemos limites distintos: e . Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para chegar a .

Resposta

Como os limites são diferentes dependendo do caminho seguido, o limite não existe.

Exercícios relacionados