Determine
para que a função
seja contínua
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes:
O objetivo é encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua no ponto
. Para isso, a gente vai precisar entender o conceito de continuidade de funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que
seja contínua em
, então precisamos que:
Passo 3
Vamos agora calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função para
é:
Perceba que
é a distância ao quadrado do ponto
até a origem. Quando
se aproxima de
, essa distância tende a zero.
Passo 4
Para calcular o limite, vamos usar uma substituição comum em limites de variações semelhantes. Seja
. Quando
,
. Então podemos reescrever a função como:
Agora, o limite que queremos calcular se transforma em:
Passo 5
Esse limite é um limite básico do cálculo diferencial. Sabemos que:
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é 1.
Resposta
Para que a função
seja contínua em
,
deve ser igual a 1.