Determine a para que a função f seja contínua
f(x, y) = { (e^(x^2 + y^2) - 1) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; a, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes:
O objetivo é encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . Para isso, a gente vai precisar entender o conceito de continuidade de funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que seja contínua em , então precisamos que:

Passo 3

Vamos agora calcular o limite de quando se aproxima de . A função para é:
Perceba que é a distância ao quadrado do ponto até a origem. Quando se aproxima de , essa distância tende a zero.

Passo 4

Para calcular o limite, vamos usar uma substituição comum em limites de variações semelhantes. Seja . Quando , . Então podemos reescrever a função como:
Agora, o limite que queremos calcular se transforma em:

Passo 5

Esse limite é um limite básico do cálculo diferencial. Sabemos que:
Portanto, o limite de quando se aproxima de é 1.

Resposta

Para que a função seja contínua em , deve ser igual a 1.

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