Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a função é contínua. A função está definida para dois casos: quando e quando . Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis e o conceito de continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções em várias direções e verificar se o limite coincide com o valor da função no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para a função ser contínua no ponto , o limite de conforme se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Sabemos que , então nosso objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de e verificar se ele é igual a 1.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, . Substituindo na função:
Agora, nosso limite fica:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , pode ser aproximado por sua série de Taylor:
Então,
Quando se aproxima de 0, os termos com e superiores tendem a zero, então:
Passo 5
Com o limite calculado, vemos que:
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.
Resposta
A função é contínua em todo o seu domínio, incluindo no ponto .