Determine se a função f é contínua
f(x, y) = { tan(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 1, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a função é contínua. A função está definida para dois casos: quando e quando . Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis e o conceito de continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções em várias direções e verificar se o limite coincide com o valor da função no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para a função ser contínua no ponto , o limite de conforme se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Sabemos que , então nosso objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de e verificar se ele é igual a 1.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, . Substituindo na função:
Agora, nosso limite fica:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , pode ser aproximado por sua série de Taylor:
Então,
Quando se aproxima de 0, os termos com e superiores tendem a zero, então:

Passo 5

Com o limite calculado, vemos que:
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, incluindo no ponto .

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