Calcule o limite ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) 1-cos (raizx^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis conforme lim (x, y) (0,0) 1-cos (raizx^2+y^2)x^2+y^2 se aproxima de . O enunciado é:
Vamos usar conceitos de limites em cálculo multivariável e transformar as coordenadas para facilitar a resolução, especificamente usando coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para coordenadas polares , onde:
Nessa transformação, , que representa a distância do ponto até a origem.

Passo 3

Substituindo limr to 0 1 - cos rr^2 por , a expressão do limite fica:
Agora, o limite depende apenas de , o que simplifica bastante a análise.

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos usar a expansão em série de Taylor para a função cosseno em torno de 0:
cos r = 1 - r^22 + r^424 - dots
Isolando 1 - cos r = r^22 - r^424 + dots , temos:

Passo 5

Substituindo a expansão na expressão do limite:
limr to 0 1 - cos rr^2 = limr to 0 r^22 - r^424 + dotsr^2 = limr to 0 ( 12 - r^224 + dots )
À medida que 12 tende a 0, os termos com e superiores desaparecem, restando apenas:

Resposta

lim (x, y) (0,0) 1-cos (raizx^2+y^2)x^2+y^2 = 12

Exercícios relacionados