Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis conforme
se aproxima de
. O enunciado é:
Vamos usar conceitos de limites em cálculo multivariável e transformar as coordenadas para facilitar a resolução, especificamente usando coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde:
Nessa transformação,
, que representa a distância do ponto
até a origem.
Passo 3
Substituindo
por
, a expressão do limite fica:
Agora, o limite depende apenas de
, o que simplifica bastante a análise.
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos usar a expansão em série de Taylor para a função cosseno em torno de 0:
Isolando
, temos:
Passo 5
Substituindo a expansão na expressão do limite:
À medida que
tende a 0, os termos com
e superiores desaparecem, restando apenas: