Determine se a função
é contínua
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a função
é contínua. A função está definida de duas formas diferentes, dependendo se
é maior que
ou não. Então, para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar essa propriedade nas duas partes da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função, quando nos aproximamos desse ponto de qualquer direção, é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, a função
é definida de duas maneiras:
Como as duas expressões
e
são polinômios, que são contínuos por natureza, a gente só precisa verificar se não há “quebra” na transição entre as duas definições, ou seja, quando
.
Passo 3
Vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de
. Se
, usamos
. Quando
chega pertinho de
, substituindo
, temos:
Agora, se
, usamos
. Substituindo
novamente:
Passo 4
Observamos que, ao nos aproximarmos da linha
de ambos os lados (quando
e quando
), o limite da função é 0. Além disso, quando
, a função também vale 0. Isso significa que não há discrepância entre os dois lados na transição.
Resposta
Sim, a função
é contínua em todo o seu domínio.