Determine se a função f é contínua
f(x, y) = { x^4 - y^4, x > y; x^2 - y^2, x <= y }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a função é contínua. A função está definida de duas formas diferentes, dependendo se é maior que ou não. Então, para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar essa propriedade nas duas partes da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função, quando nos aproximamos desse ponto de qualquer direção, é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, a função é definida de duas maneiras:
Como as duas expressões e são polinômios, que são contínuos por natureza, a gente só precisa verificar se não há “quebra” na transição entre as duas definições, ou seja, quando .

Passo 3

Vamos analisar o que acontece quando se aproxima de . Se , usamos . Quando chega pertinho de , substituindo , temos:
Agora, se , usamos . Substituindo novamente:

Passo 4

Observamos que, ao nos aproximarmos da linha de ambos os lados (quando e quando ), o limite da função é 0. Além disso, quando , a função também vale 0. Isso significa que não há discrepância entre os dois lados na transição.

Resposta

Sim, a função é contínua em todo o seu domínio.

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