Determine
para que a função
seja contínua
Passo 1
Resumo do Problema e Materia Envolvida
Estamos querendo descobrir qual valor de
torna a função
contínua no ponto
. A função é definida assim:
Para que
seja contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a 2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente limites e continuidade, para resolver isso.
Passo 2
Mudança para Coordenadas Polares
Para facilitar o cálculo do limite, vamos mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Assim,
. Substituindo na função:
Agora, queremos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Passo 3
Expansão de Série de Taylor para
Para simplificar
, usamos a série de Taylor da função cosseno hiperbólico:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 4
Aproximação do Numerador para
Pequeno
Para
muito pequeno, os termos de ordem maior (como
) são desprezíveis. Assim, podemos aproximar:
Então, a função
fica aproximadamente:
Passo 5
Cálculo do Limite e Determinação de
Queremos que o limite de
quando
seja igual a 2:
Para que esse limite exista e seja finito, o expoente de
deve ser zero (caso contrário, teremos 0 ou infinito):
Resposta
O valor de
que torna a função contínua é
.