Determine a para que a função f seja contínua
f(x, y)=cc sec (x^2+y^2)-1(x^2+y^2)^a, & (x, y) neq(0,0) 2, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Resumo do Problema e Materia Envolvida
Estamos querendo descobrir qual valor de f(x, y) = sec (x^2+y^2)-1(x^2+y^2)^a, & se (x, y) neq (0,0) 2, & se (x, y) = (0,0) torna a função contínua no ponto . A função é definida assim:
Para que seja contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual a 2. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente limites e continuidade, para resolver isso.

Passo 2

Mudança para Coordenadas Polares
Para facilitar o cálculo do limite, vamos mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta) y = r sin(theta) onde r = raizx^2 + y^2
Assim, f(r) = sec(r^2) - 1r^2a . Substituindo na função:
limr to 0 sec(r^2) - 1r^2a = 2
Agora, queremos calcular o limite de quando se aproxima de 0:

Passo 3

Expansão de Série de Taylor para sec(z) = 1 + 12z^2 + 524z^4 + cdots
Para simplificar sec(r^2) = 1 + 12r^4 + 524r^8 + cdots , usamos a série de Taylor da função cosseno hiperbólico:
sec(r^2) - 1 = 12r^4 + 524r^8 + cdots
Substituindo :
Portanto:

Passo 4

Aproximação do Numerador para sec(r^2) - 1 approx 12r^4 Pequeno
Para f(r) approx 12r^4r^2a = 12 r^4 - 2a muito pequeno, os termos de ordem maior (como ) são desprezíveis. Assim, podemos aproximar:
Então, a função fica aproximadamente:

Passo 5

Cálculo do Limite e Determinação de limr to 0 12 r^4 - 2a = 2
Queremos que o limite de 4 - 2a = 0 Rightarrow 2a = 4 Rightarrow a = 2 quando seja igual a 2:
Para que esse limite exista e seja finito, o expoente de deve ser zero (caso contrário, teremos 0 ou infinito):

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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