Calcule o limite ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x^4-y^4(x^2+y^2)^2

Passo 1

Então, temos que calcular o limite de quando se aproxima de . Isso está relacionado ao estudo de limites em várias variáveis, onde precisamos verificar se o limite existe ou não, analisando diferentes caminhos que pode seguir ao se aproximar de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se um limite existe em várias variáveis, devemos analisar se o limite é o mesmo ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que resultam em limites diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Vamos considerar o primeiro caminho onde limx to 0 x^4 - 0^4(x^2 + 0^2)^2 = limx to 0 x^4x^4 = limx to 0 1 = 1 . Substituindo por 0 na expressão:

Passo 4

Agora, vamos considerar outro caminho onde limx to 0 x^4 - x^4(x^2 + x^2)^2 = limx to 0 0(2x^2)^2 = limx to 0 04x^4 = 0 . Substituindo por na expressão:

Passo 5

Comparando os resultados dos dois caminhos:
  • Pelo caminho , o limite é 1.
  • Pelo caminho , o limite é 0.
Como obtivemos limites diferentes ao seguir caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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