Calcule o limite ou mostre que não existe3
lim (x, y) (0,0) 2^x^2 4^y^2-1x^2+2 y^2

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) 2^x^2 cdot 4^y^2 - 1x^2 + 2 y^2
Aqui, estamos lidando com limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre expansões em séries e como analisar o comportamento da função conforme nos aproximamos de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador: 2^x^2 cdot 2^2y^2 = 2^x^2 + 2y^2 .
Sabemos que lim (x, y) (0,0) 2^x^2 + 2y^2 - 1x^2 + 2 y^2 , então podemos reescrever como . Assim, a expressão fica:
Então, o limite agora é:

Passo 3

Para simplificar ainda mais, vamos lembrar que para valores pequenos, podemos aproximar 2^z approx 1 + z ln 2 usando a série de Taylor:
2^x^2 + 2y^2 approx 1 + (x^2 + 2y^2) ln 2
onde 2^x^2 + 2y^2 - 1 approx (x^2 + 2y^2) ln 2 é uma quantidade pequena. Aqui, , que tende a 0 conforme .
Aplicando essa aproximação:
Subtraindo 1:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação no limite original:
lim (x, y) (0,0) (x^2 + 2y^2) ln 2x^2 + 2 y^2
Perceba que o termo lim (x, y) (0,0) ln 2 = ln 2 aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:

Resposta

O limite é igual a .

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