Calcule o limite ou mostre que não existe3
Passo 1
Opa! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre expansões em séries e como analisar o comportamento da função conforme nos aproximamos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
.
Sabemos que
, então podemos reescrever
como
. Assim, a expressão fica:
Então, o limite agora é:
Passo 3
Para simplificar ainda mais, vamos lembrar que para valores pequenos, podemos aproximar
usando a série de Taylor:
onde
é uma quantidade pequena. Aqui,
, que tende a 0 conforme
.
Aplicando essa aproximação:
Subtraindo 1:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação no limite original:
Perceba que o termo
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
Resposta
O limite é igual a
.