Calcule o limite ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2+x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite da função xyx^2 + y^2 + xy quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de limites de funções de duas variáveis e coordenadas polares. Precisamos verificar se o limite existe ou se ele varia dependendo do caminho que escolhemos para chegar a (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta), onde x = r costheta e y = r sintheta. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e analisar o comportamento quando r (a distância até a origem) tende a zero.

Passo 3

Substituindo x e y na função original:
xyx^2 + y^2 + xy = (r costheta)(r sintheta)(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 + (r costheta)(r sintheta)
Simplificando:
r^2 costheta sinthetar^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta + r^2 costheta sintheta

Passo 4

Fatorando r^2 no denominador:
r^2 costheta sinthetar^2 (cos^2theta + sin^2theta + costheta sintheta)
Como cos^2theta + sin^2theta = 1, fica:
r^2 costheta sinthetar^2 (1 + costheta sintheta) = costheta sintheta1 + costheta sintheta

Passo 5

Agora, observamos que a expressão resultante costheta sintheta1 + costheta sintheta depende do ângulo theta. Isso significa que o valor do limite pode mudar dependendo de como (x, y) se aproxima de (0,0), ou seja, o caminho escolhido.

Passo 6

Para confirmar, vamos testar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho y = 0:
    • Substituindo y = 0 na função original, temos: x cdot 0x^2 + 0 + x cdot 0 = 0
    • Então, o limite é 0.
  2. Caminho y = x:
    • Substituindo y = x na função original, temos: x cdot xx^2 + x^2 + x cdot x = x^23x^2 = 13
    • Então, o limite é 13.

Passo 7

Como obtivemos limites diferentes ao considerar caminhos distintos ( 0 e 13), concluímos que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2+x y não existe porque depende do caminho escolhido para se aproximar de (0,0).

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