Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de limites de funções de duas variáveis e coordenadas polares. Precisamos verificar se o limite existe ou se ele varia dependendo do caminho que escolhemos para chegar a
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde
e
. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e analisar o comportamento quando
(a distância até a origem) tende a zero.
Passo 3
Substituindo
e
na função original:
Simplificando:
Passo 4
Fatorando
no denominador:
Como
, fica:
Passo 5
Agora, observamos que a expressão resultante
depende do ângulo
. Isso significa que o valor do limite pode mudar dependendo de como
se aproxima de
, ou seja, o caminho escolhido.
Passo 6
Para confirmar, vamos testar dois caminhos diferentes:
-
Caminho
: - Substituindo
na função original, temos: - Então, o limite é
.
- Substituindo
-
Caminho
: - Substituindo
na função original, temos: - Então, o limite é
.
- Substituindo
Passo 7
Como obtivemos limites diferentes ao considerar caminhos distintos (
e
), concluímos que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite
não existe porque depende do caminho escolhido para se aproximar de
.