Determine para quais valores de a a função f é contínua
f(x, y) = { x^a / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0); 0, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de para os quais a função é contínua. O conteúdo principal aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto, especialmente no ponto , onde a função tem uma definição especial.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No caso da nossa função , ela é definida como:
Então, para ser contínua em , precisamos que:

Passo 3

Para calcular esse limite, uma técnica útil é usar coordenadas polares, onde e . Isso simplifica a expressão, pois . Substituindo na nossa função:

Passo 4

Agora, queremos que o limite de quando seja igual a zero. Note que está sempre limitado, já que . Então, a expressão vai ditar o comportamento do limite.
Para que quando , precisamos que o expoente seja positivo, ou seja:

Passo 5

Se , então tende a zero à medida que se aproxima de zero, o que faz com que todo o limite seja zero. Portanto, a função será contínua em para .

Resposta

A função é contínua para todos os valores de maiores que .

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