Determine para quais valores de
a função
é contínua
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
para os quais a função
é contínua. O conteúdo principal aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto, especialmente no ponto
, onde a função tem uma definição especial.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No caso da nossa função
, ela é definida como:
Então, para
ser contínua em
, precisamos que:
Passo 3
Para calcular esse limite, uma técnica útil é usar coordenadas polares, onde
e
. Isso simplifica a expressão, pois
. Substituindo na nossa função:
Passo 4
Agora, queremos que o limite de
quando
seja igual a zero. Note que
está sempre limitado, já que
. Então, a expressão
vai ditar o comportamento do limite.
Para que
quando
, precisamos que o expoente seja positivo, ou seja:
Passo 5
Se
, então
tende a zero à medida que
se aproxima de zero, o que faz com que todo o limite seja zero. Portanto, a função
será contínua em
para
.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
maiores que
.