Determine se a função
é contínua
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você me mandou. A gente precisa determinar se a função
é contínua. A função está definida por partes:
Para verificar a continuidade, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
tende a
for igual ao valor de
.
No nosso caso, queremos ver se
é contínua em
. Isso significa que precisamos calcular:
E verificar se esse limite é igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite. Para funções de duas variáveis, uma técnica comum é trocar para coordenadas polares, onde
e
. Assim, quando
, estamos nos aproximando de
.
Substituindo na função:
Simplificando:
Cancelando
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento quando
. Observamos que
tende a zero, e o termo
é limitado, pois as funções trigonométricas estão sempre entre -1 e 1.
Portanto, o limite toda a expressão tende a zero:
Resposta
Como o limite de
quando
tende a
é igual a
, concluímos que a função
é contínua no ponto
.