Determine se a função f é contínua
f(x, y) = { (x^6 - y^6) / (x^2 + y^2 + x*y), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você me mandou. A gente precisa determinar se a função é contínua. A função está definida por partes:
Para verificar a continuidade, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua no ponto se o limite de quando tende a for igual ao valor de .
No nosso caso, queremos ver se é contínua em . Isso significa que precisamos calcular:
E verificar se esse limite é igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite. Para funções de duas variáveis, uma técnica comum é trocar para coordenadas polares, onde e . Assim, quando , estamos nos aproximando de .
Substituindo na função:
Simplificando:
Cancelando :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento quando . Observamos que tende a zero, e o termo é limitado, pois as funções trigonométricas estão sempre entre -1 e 1.
Portanto, o limite toda a expressão tende a zero:

Resposta

Como o limite de quando tende a é igual a , concluímos que a função é contínua no ponto .

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