Calcule o limite ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) sen(x^4-y^4)x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproximam de . O conteúdo que vamos usar envolve limites em várias variáveis e trigonometria, especialmente a aproximação da função seno para valores pequenos. Vamos precisar aplicar propriedades de limites e algumas desigualdades para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no limite que queremos calcular:
Ao substituir diretamente lim (x, y) (0,0) sen(x^4-y^4)x^2+y^2 , tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, o que nos dá uma forma indeterminada . Então, precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Vamos lembrar que para valores pequenos de sen(z) approx z , a função seno pode ser aproximada por:
Isso significa que, quando sen(x^4-y^4) approx x^4 - y^4 e x^4 - y^4x^2 + y^2 estão próximos de 0, podemos escrever:
Então, nossa expressão fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) . Podemos fatorar essa diferença de quadrados:
(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)x^2 + y^2 = x^2 - y^2
Substituindo de volta na fração:

Passo 5

Portanto, a expressão aproximada do limite é lim (x, y) (0,0) (x^2 - y^2) = 0 - 0 = 0 . Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de :
Isso sugere que o limite original também tende a 0.

Passo 6

Para confirmar isso de forma mais rigorosa, vamos usar a desigualdade que diz que . Aplicando isso na nossa função:
Simplificando, temos:
| sen(x^4-y^4)x^2+y^2 | <= |x^4-y^4|x^2+y^2 <= x^4 + y^4x^2 + y^2
Como x^4 + y^4x^2 + y^2 = x^4x^2 + y^2 + y^4x^2 + y^2 <= x^2 + y^2 se aproxima de , tende a 0.

Resposta

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