Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproximam de
. O conteúdo que vamos usar envolve limites em várias variáveis e trigonometria, especialmente a aproximação da função seno para valores pequenos. Vamos precisar aplicar propriedades de limites e algumas desigualdades para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no limite que queremos calcular:
Ao substituir diretamente
, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, o que nos dá uma forma indeterminada
. Então, precisamos de outra estratégia.
Passo 3
Vamos lembrar que para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por:
Isso significa que, quando
e
estão próximos de 0, podemos escrever:
Então, nossa expressão fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão
. Podemos fatorar essa diferença de quadrados:
Substituindo de volta na fração:
Passo 5
Portanto, a expressão aproximada do limite é
. Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de
:
Isso sugere que o limite original também tende a 0.
Passo 6
Para confirmar isso de forma mais rigorosa, vamos usar a desigualdade que diz que . Aplicando isso na nossa função:
Simplificando, temos:
Como
se aproxima de
,
tende a 0.