Determine se a função
é contínua
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a função
é contínua. Estamos trabalhando com cálculo de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos verificar se os limites laterais da função em todos os pontos coincidem com o valor da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Queremos ver se não há “saltos” ou “quebras” na função, ou seja, se ela é contínua em todos os pontos do plano
.
Passo 3
Vamos analisar a continuidade nos diferentes casos. A função está dividida em duas partes: uma para
e outra para
. Precisamos principalmente verificar a continuidade na linha
, já que é onde a definição da função muda.
Passo 4
Para
, temos
. Podemos reescrever isso como:
Sabemos que
é uma função contínua, e
também é contínua para
. Portanto, nessa região,
é contínua.
Passo 5
Para
, a função é simplesmente
, que é uma função contínua, pois o seno é contínuo em todo o seu domínio.
Passo 6
Agora, precisamos verificar o que acontece na fronteira entre as duas regiões, ou seja, quando
se aproxima de 0. Queremos ver se o limite de
conforme
se aproxima de 0 por valores positivos é igual a
.
Passo 7
Calculamos o limite para
:
Usando a regra básica do limite
, substituímos
:
Passo 8
Agora, vemos que
. Para que a função seja contínua em
, o limite que calculamos deve ser igual a
. Ou seja:
Isso acontece somente quando
, porque
.
Passo 9
Portanto, a função
é contínua em todos os pontos do plano
, exceto na linha
quando
.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano
exceto na linha
quando
.