Determine se a função f é contínua
f(x, y) = { sen(xy)/y, y > 0; sen(x), y <= 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a função é contínua. Estamos trabalhando com cálculo de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos verificar se os limites laterais da função em todos os pontos coincidem com o valor da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Queremos ver se não há “saltos” ou “quebras” na função, ou seja, se ela é contínua em todos os pontos do plano .

Passo 3

Vamos analisar a continuidade nos diferentes casos. A função está dividida em duas partes: uma para e outra para . Precisamos principalmente verificar a continuidade na linha , já que é onde a definição da função muda.

Passo 4

Para , temos . Podemos reescrever isso como:
Sabemos que é uma função contínua, e também é contínua para . Portanto, nessa região, é contínua.

Passo 5

Para , a função é simplesmente , que é uma função contínua, pois o seno é contínuo em todo o seu domínio.

Passo 6

Agora, precisamos verificar o que acontece na fronteira entre as duas regiões, ou seja, quando se aproxima de 0. Queremos ver se o limite de conforme se aproxima de 0 por valores positivos é igual a .

Passo 7

Calculamos o limite para :
Usando a regra básica do limite , substituímos :

Passo 8

Agora, vemos que . Para que a função seja contínua em , o limite que calculamos deve ser igual a . Ou seja:
Isso acontece somente quando , porque .

Passo 9

Portanto, a função é contínua em todos os pontos do plano , exceto na linha quando .

Resposta

A função é contínua em todo o plano exceto na linha quando .

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