Determine se a função f é contínua
f(x, y) = { (y * x^2 - y) / (x - 1), x ≠ 1; 2 * y, x = 1 }

Passo 1

Então, a gente vai verificar se a função é contínua. A função está definida por partes:
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de quando . Observe que:
Perceba que pode ser fatorado:
Substituindo isso na expressão de :
Para , a função simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos verificar o limite de quando se aproxima de . Como simplificamos para , temos:

Passo 4

A continuidade exige que o limite da função quando se aproxima de um ponto seja igual ao valor da função naquele ponto. No caso, para :
E acabamos de ver que:

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de 1 é igual a , a função é contínua em todos os pontos, inclusive quando .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio.

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