Determine se a função
é contínua
Passo 1
Então, a gente vai verificar se a função
é contínua. A função está definida por partes:
- Para
, temos . - Para
, temos .
Vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
quando
. Observe que:
Perceba que
pode ser fatorado:
Substituindo isso na expressão de
:
Para
, a função simplifica para
.
Passo 3
Agora, vamos verificar o limite de
quando
se aproxima de
. Como simplificamos
para
, temos:
Passo 4
A continuidade exige que o limite da função quando
se aproxima de um ponto seja igual ao valor da função naquele ponto. No caso, para
:
E acabamos de ver que:
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de 1 é igual a
, a função
é contínua em todos os pontos, inclusive quando
.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio.