Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Isso cai dentro do estudo de limites multivariáveis, onde analisamos o comportamento de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e algumas propriedades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares para simplificar a expressão. Em coordenadas polares, temos:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 3
Substituindo
e
na expressão original:
Note que
.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende a 0.
Passo 5
Lembramos que, para valores pequenos de
,
. Então, quando
é próximo de 0:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vemos que o resultado final depende de
:
Isso significa que o valor do limite depende do caminho pelo qual
se aproxima de
. Como diferentes valores de
resultam em diferentes valores para
, o limite não é único.
Resposta
O limite
não existe.