Calcule o limite ou mostre que não existe lim (x, y) (0,0) x sin (y)x^2+y^2

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Isso cai dentro do estudo de limites multivariáveis, onde analisamos o comportamento de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e algumas propriedades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares para simplificar a expressão. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo x sin(y)x^2+y^2 = r cos(theta) cdot sin(r sin(theta))r^2 e na expressão original:
Note que .

Passo 4

Simplificando a expressão:
r cos(theta) cdot sin(r sin(theta))r^2 = cos(theta) cdot sin(r sin(theta))r
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa expressão quando tende a 0.

Passo 5

Lembramos que, para valores pequenos de sin(r sin(theta)) approx r sin(theta) , cos(theta) cdot r sin(theta)r = cos(theta) sin(theta) . Então, quando é próximo de 0:
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vemos que o resultado final depende de cos(theta) sin(theta) :
Isso significa que o valor do limite depende do caminho pelo qual se aproxima de . Como diferentes valores de resultam em diferentes valores para , o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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