Calcule o limite se possível:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+y^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função quando o ponto se aproxima de . Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto de interesse por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo x^2 cdot 0x^2 + 0 = 0x^2 = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo 0^2 cdot y0^2 + y^2 = 0y^2 = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Portanto, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite também é .

Passo 4

Para confirmar se o limite é realmente x^2 cdot kxx^2 + (kx)^2 = kx^3x^2(1 + k^2) = kx1 + k^2 , vamos considerar um caminho mais geral, por exemplo, uma reta , onde é uma constante. Substituindo na função, temos:
À medida que se aproxima de , a expressão também se aproxima de .

Passo 5

Como o limite é ao longo de diferentes caminhos (eixo , eixo e qualquer reta ), podemos concluir que o limite da função quando se aproxima de é .

Resposta

lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+y^2 = 0

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