Verifique a continuidade das seguintes funções:
Verifique a continuidade da função
no ponto
.
Verifique a continuidade da função
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, precisamos entender o que significa continuidade em um ponto e quais ferramentas usamos para testar isso, como calcular limites em várias direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando as variáveis se aproximam desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, temos que verificar se:
Mas, antes de mais nada, precisamos saber se
está definida.
Passo 3
Observando a função
, vemos que no ponto
, tanto o numerador quanto o denominador são zero:
Isso é uma indeterminação, o que significa que
não está definida. Portanto, já temos um indicativo de que a função pode não ser contínua nesse ponto.
Passo 4
Mesmo que
não esteja definida, vamos analisar o limite da função quando
se aproxima de
. Se esse limite existir e fosse igual a um valor específico, poderíamos definir
como esse valor para tornar a função contínua. Vamos calcular o limite:
Podemos fazer isso usando coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Note que o resultado depende de
, o que significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Passo 5
Como o limite depende de
, não existe um único valor para o limite quando
se aproxima de
. Por exemplo:
- Se
(aproximando-se pelo eixo ), temos . - Se
(aproximando-se pelo eixo ), temos .
Como os limites são diferentes dependendo da direção, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite quando
se aproxima de
não existe.