Verifique a continuidade das seguintes funções:
Verifique a continuidade da função f(x, y) = y^2 / (x^2 + y^2) no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos entender o que significa continuidade em um ponto e quais ferramentas usamos para testar isso, como calcular limites em várias direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando as variáveis se aproximam desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, temos que verificar se:
Mas, antes de mais nada, precisamos saber se está definida.

Passo 3

Observando a função , vemos que no ponto , tanto o numerador quanto o denominador são zero:
Isso é uma indeterminação, o que significa que não está definida. Portanto, já temos um indicativo de que a função pode não ser contínua nesse ponto.

Passo 4

Mesmo que não esteja definida, vamos analisar o limite da função quando se aproxima de . Se esse limite existir e fosse igual a um valor específico, poderíamos definir como esse valor para tornar a função contínua. Vamos calcular o limite:
Podemos fazer isso usando coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Note que o resultado depende de , o que significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Passo 5

Como o limite depende de , não existe um único valor para o limite quando se aproxima de . Por exemplo:
  • Se (aproximando-se pelo eixo ), temos .
  • Se (aproximando-se pelo eixo ), temos .
Como os limites são diferentes dependendo da direção, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite quando se aproxima de não existe.

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